Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Una de las principales razones de la ineficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al expandir los datos utilizando codificación de Reed-Solomon, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.

La primera generación de codificación STARKs tiene un ancho de banda de 252 bits, la segunda generación de STARKs tiene un ancho de banda de 64 bits, y la tercera generación de STARKs tiene un ancho de banda de 32 bits, pero el ancho de banda de 32 bits sigue teniendo una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se han aplicado ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de Cifrado Avanzado ( AES ), basado en el campo F28;

• Galois código de autenticación de mensajes ( GMAC ), basado en el dominio F2128;

• Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo original FRI y zk-STARK, así como la función hash Grøstl, que llegó a la final de SHA-3, basada en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para asegurar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y los cálculos FRI aún necesitan profundizar en un dominio de extensión más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir sistemas de prueba basados en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de trace en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el Merkle tree en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda ambos problemas de manera separada y representa los mismos datos de dos formas diferentes: primero, utilizando un polinomio multivariable (, específicamente un polinomio multilineal ), en lugar de un polinomio univariable, para representar toda la trayectoria computacional a través de sus valores en "hipercubos" (; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en los STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado ), y realizar la extensión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este enfoque mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional, al tiempo que asegura la seguridad.

2 Análisis de principios

La mayoría de las construcciones de sistemas SNARKs actuales suelen incluir las siguientes dos partes:

• Prueba de Oracle Interactiva Polinómica Teórica de la Información ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP, como el núcleo del sistema de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios de manera gradual a través de la interacción con el verificador, permitiendo que el verificador valide si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene diferentes enfoques para el tratamiento de expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para demostrar si una igualdad polinómica generada por PIOP es válida. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de prueba con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Halo2 fue diseñado con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar el trusted setup del protocolo ZCash.

• Plonky2: combina PLONK PIOP con FRI PCS y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, las PIOP y PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizados, para asegurar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de la verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin una configuración confiable, y si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominios binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios (towers of binary fields) constituye la base de su computación, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del dominio binario. En segundo lugar, Binius ha adaptado la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación consistente y segura entre variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en dominios pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo emplea un esquema de compromiso polinómico de dominios pequeños (Small-Field PCS), permitiendo un sistema de prueba eficiente en el dominio binario y reduciendo la sobrecarga normalmente asociada con dominios grandes.

( 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios

El campo binario en torre es clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. El campo binario, en esencia, admite operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que lo convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del campo binario respalda un proceso de aritmética simplificada, es decir, las operaciones realizadas en el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que el campo binario sea especialmente adecuado para sistemas de prueba escalables como Binius.

El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits puede mapearse directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede caber en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene la conveniencia de este mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, así como métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ) utilizada en AES ###, la reducción de Montgomery ( utilizada en POLYVAL ), y la reducción recursiva ( como Tower ). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario, tanto en la adición como en la multiplicación, no es necesario introducir acarreo, y la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada de (X + Y )2 = X2 + Y2.

Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede ser vista como un elemento único en un campo binario de 128 bits, o desglosada en dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, dieciséis elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos de campo F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits (typecast), lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños pueden ser empaquetados como elementos de campo más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de multiplicación, cuadrado e inversión en un campo binario de torre de n bits ( descomponible en un subcampo de m bits ).

( 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable a campos binarios

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación central para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones centrales incluyen:

1. GateCheck: Verificar si el testigo secreto ω y la entrada pública x satisfacen la relación de operación del circuito C)x,ω###=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f(x) = f(π)x((, para asegurar la consistencia en la permutación de las variables polinómicas.

3. LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f)Bµ) ⊆ T(Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: verificar si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.

6. ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariable en la evaluación de un polinomio univariante, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten procesar múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha mejorado en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea distinto de cero en todo el hipercubo, y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar dicho valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de la división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que impide afirmar el problema de no ser cero de U en el hipercubo; Binius abordó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede seguir procesando, permitiendo la promoción a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación entre columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la Comprobación de Permutación entre varias columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de permutación polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y la eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más fuerte. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.

( 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable a hipercubo booleano

En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales es una de las tecnologías clave, que puede generar y operar de manera efectiva polinomios derivados de manejadores de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación se presentan dos métodos clave:

• Packing: Este método optimiza la operación empaquetando elementos más pequeños en posiciones adyacentes de la secuencia del diccionario en elementos más grandes. El operador Pack se aplica a bloques de tamaño 2κ y los combina en dimensiones superiores.